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正弦交流電路的分析

例 4.1

幅值為 20A 的正弦電流,周期為 1mA,0 時刻電流的幅值為 10A。

(a)求電流頻率,單位為赫茲。(b)求電流頻率,單位為弧度每秒。 (c)求 i(t)的正弦函數表達式,其中 ? 用度表示。 (d)求電流的有效值。 解:(a)由題意知,T=1ms;因此,
f ? 1 ? 1000Hz T 。

? rad / s 。 (b) ? ? 2? f ? 2000
0 ? 20sin (2000 ?t ? ?) (c)由于 i(t) ,且 i(0)=10A,所以, ? ? 30 ,電流

i(t)的表達式為:
i(t) ? 20sin (2000 ?t ? 300) A

I?

Im 2

?

20 2

A ? 14.14A

(d) 例 4.2

把下列正弦量的時間函數用相量表示: (1) u=10
2 sin314tV

(2) i=-5sin(314t-60?)A

? =10/0? V 解:(1) U

(2) I?m =-5/-60? A

例 4.3

已知工頻正弦電壓 uab 的最大值為 311V,初相位為-60°,其有效值

為多少?寫出其瞬時值表達式;當 t=0.0025S 時,Uab 的值為多少? 解:∵ U abm ? 2 U ab ∴有效值 U ab ?
1 1 ? 311? 220 V U abm ? 2 2

瞬時值表達式為 uab ? 311sin?314t ? 600?V

?? ? 當 t=0.0025S 時, U ab ? 311? sin? 314? 0.0025? ? ? 80.6V 3? ?
例 4.4 寫出下列各相量所對應的正弦量解析式,設角頻率為 ? 。
? (2) U ? 220?60?V ? (4) U ? 380V

? (1) I ? (4 ? j3)A

? (3) I ? j2A

解:(1)

2 I ? 42 ? ( ? 3) A ? 5A,? ? arctan

?3 ? ?36.9 0 4

i(t) ? 5 2 sin (? t ? 36.90) A
0 (2) U ? 220V,? ? 60

u(t) ? 220 2 sin (? t ? 600) V
0 (3) I ? 2A,? ? 90

i(t) ? 2 2 sin (? t ? 900) A
0 (4) U ? 380V,? ? 0

u(t) ? 380 2 sin ?t V
例 4.5 圖 4.1 所示的是時間 t=0 時電壓和電流的相量圖,并已知 U=220V,

I1=10A,I2= 5 2 A,試分別用解析式及復數式表示各正弦量。
0 0 0 解:由圖 4.1 可知: ? i1 ? 90 ,? i2 ? ?45 ,? u ? 0 。

i ( ? 10 2 sin (? t ? 900)A, 1 t) i( ? 10sin (? t ? 450)A, 2 t) u(t) ? 220 2 sin ? tV,
? ?

I ? 10?900 A; I ? 5 2? ? 450 A;

?

U ? 220?0 0 V;

圖 4.1 例 4.6 已知 i1=100

2 sin(ω t+45?)A,i2=60

2 sin(ω t-30?)A。試求

總電流 i=i1+i2,并做出相量圖。 解:由正弦電流 i1 和 i2 的頻率相同,可用相量求得 (1)先作最大值相量
? =100 2 /45?A I 1m
? =60 2 /-30?A I 2m

(2)用相量法求和電流的最大值相量

? =I ? =100 2 /45?+60 2 /-30?=129 2 /18.4? ? +I I m 2m 1m

(A)

(3)將和電流的最大值相量變換成電流的瞬時值表達式

i=129

2 sin(ω t+18.4?)

(A)

(4)做出相量圖,如圖 4.2 所示。 也可以用有效值相量進行計算,方法如下: (1)先作有效值相量
? =100/45?A, I ? =60/-30?A I 1 2

(2)用相量法求和電流的有效值相量,相量圖如圖 5.2 所示。
? +I ? =100/45?+60/-30?=129/18.4? ? =I I 1 2

圖 4.2

(A)

(3)將和電流的有效值相量變換成電流的瞬時值表達式

i=129

2 sin(ω t+18.4?)

(A)

由此可見,無論用最大值相量還是用有效值相量進行求和運算,其計算 結果是一樣的。 例 4. 7 把一個 100Ω 的電阻元件接到頻率為 50Hz ,電壓有效值為 10V 的正弦

電源上,問電流是多少?如保持電壓值不變,而電源頻率改變為 5000 Hz,這時 電流將為多少? 解: 因為電阻與頻率無關,所以電壓有效值保持不變時,頻率雖然改變但電流 有效值不變。 即 例 4.8 I=U/R=(10/100)A=0.1=100mA 若把上題中的,100Ω 的電阻元件改為 25μ F 的電容元件,這時電流又

將如何變化? 解:當 f=50Hz 時

XC= 1 =

1 =127.4(Ω ) 2?fC 2 ? 3.14 ? 50 ? (25 ? 10?6 ) I= U = 10 =0.078(A)=78(mA) X C 127 .4

當 f=5000Hz 時

XC=

1 =1.274(Ω ) 2 ? 3.14 ? 5000? (25 ? 10?6 )

I= 10 =7.8(A)
1.274

可見,在電壓有效值一定時,頻率越高,則通過電容元件的電流有效值越大。
u ? 311 sin(? t ? 2 π)V 3 的交流電源上,求電

例 4.9

一電爐電阻為 100 ? ,接到

爐電流的瞬時值,有效值,寫出電流的相量表達式。

解:電爐屬于純電阻負載,因此,

? i ? ? u ? ? ? 120 0 。
311

2 3

U I? ? R

Um R

2?

2 A ? 2.2A 100
?

i(t) ? 2.2 2 sin (? t ? 1200)A, I ? 2.2?1200 A
π u ? 311 sin(314t ? )V 3 的交流 已知 L ? 0.4H 的電感線圈(R=0)接到

例 4.10

電源上,試求電流的瞬時值,有效值,寫出電流的相量表達式。

? i ? ? u ? ? ? ? ? ? ? ?30 0 。 2 3 2 解:本題中的電感線圈屬于純電感負載,因此,
X L ? ? L ? 314? 0.4? ? 125.6?
U I? ? XL Um XL 311

1

1

1

2 ?

2 A ? 1.75 A 125 .6
?

i(t) ? 1.75 2 sin (? t ? 300)A, I ? 1.75? ? 300 A

例 4.11

用下列各式表示 RC 串聯電路中的電壓、電流,哪些是對的,哪些是

錯的? (1)

i= u

Z

(2)

I=

U R ? XC

(3) I? =

? U R ? j?C

(4) I= U
Z
? (8)I? = j U

(5) U=UR+UC

? =U ? +U ? (6) U R C

? (7)I? =-j U

?C

?C

解:在 R、C 串聯電路中,總阻抗 Z ? R ? j X C ? R ? j 而 Z ? R ?X
2 2 C

1 ?c



U I? Z
.

.



. . ? I R , UR

. . ? I UC XC

. . . U ? U R? U C ,

2 2 2 U ? U R ?U C

所以 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (5) 、 (7) 、 (8)均是錯的, (4) 、 (6)是對的。 例 4.12 有一線圈加上 30V 直流電壓時,消耗有功功率 150W,當加上 220V 交

流電壓時,消耗有功功率為 3173W。求該線圈的電抗?
R? U 2 302 ? ? ? 6? P 150

解:在直流電源作用時,

I?
交流電源作用時,
XL ?

P 3173 ? A ? 23A R 6
U 220 ? ? ? 9.57 ? I 23

例 4.13

圖 4.3 中,U1=40V,U2=30V,i=10sin314t A,則 U 為多少?并寫出其

瞬時值表達式。 解:由電路圖可知,電壓 u1 與電流 i 同方向,而電 壓 u2 超前電流 i900,所以

U ? U ? U ? 40 ? 30 ? 50V
2 1 2 2 2 2

圖 4.3

3 U ∵電壓 u 超前電流 i 的電度角 ? ? arctan 2 ? arctan ? 36.90 4 U1

∴ u ? 50 2 sin?314t ? 36.90?V

例 4.14

圖 4.4 所示電路中,已知 u=100sin(314t+30?)伏,

i=22.36sin(314t+19.7?)安,i2=10sin(314t+83.13?)安,試求: i1、Z1、Z2
并說明 Z1、Z2 的性質,繪出相量圖。

. 解:由題知, I 1 ? 22.36?19.70
. U ? 100? 300 V

. 0 I 2 ? 10? 83.13 A

. . . 所以 I ? I 1? I 2 ? 28.29? 38.10 A
即 i ? 28.29sin?314t ? 38.10?A
. U 100? 300 ? 4.47?10.30 ∵ Z1 ? ? . 22.36?19.70 I1 . U 100? 300 ? ? ? 10? ? 53.130 Z2 . 10? 83.130 I2

圖 4.4

∴Z1 為感性負載,Z2 為容性負載。 例 4.15 有一 R、L、C 串聯的交流電路,已知 R=XL=XC=10Ω ,I=1A,試求電壓

U、UR、UL、UC 和電路總阻抗 Z 。
解: U R ? RI ? 10?1 ? 10V ,

U L ? j X L I ? 10?1 ? 10V

U C ? ? j X C I ? 10?1 ? 10V
∵ Z ? R ? j X L ? j X C ? R ? 10? ,∴ U ? Z I ? 10?1 ? 10V 例 4.16 某 RLC 串聯電路中,電阻為 40Ω ,線圈的電感為 233 mH,電容器的

電容為 80?F,電路兩端的電壓 u=311sin314t(V)。求:(1)電路的阻抗值; (2)電流的有效值;(3)各元件兩端電壓的有效值;(4)電路的有功功率、 無功功率、視在功率;(5)電路的性質。 解:(1)

X L ? ? L ? 314? 233?10?3 ? ? 73.2?

XC ?

1 1 ? ? ? 39.8? ? C 314? 80 ? 10?6

2 2 Z ? R2 ? (X L ? X C) ? 40 2 ? (73.2 ? 39.8) ? ? 52.1?

(2) (3)

U I? ? Z

Um Z

2 ?

311

2 A ? 4.2A 52.1

U R ? RI ? 40? 4.2V ? 168V
U L ? X L I ? 73.2 ? 4.2V ? 307.4V U C ? X C I ? 39.8 ? 4.2V ? 167.2V

(4)

P ? I 2 R ? 4.2 2 ? 40W ? 705.6W

Q? (X L ? X C)I 2 ? (73.2 ? 39.8) ? 4.2 2 var ? 589.3var S ? UI ? 311 ? 4.2VA ? 924VA 2

(5)由于 X L ? X C ,電路呈電感性質。 例 4.17 圖 4.5 所示電路中,XR=XL=R,并已知電流表 A1 的讀數為 3A,試問 A2

和 A3 的讀數為多少? 解:由圖 4.5 可以看出,電容與電感并聯連接,由 于電容電流落后兩端電壓 900, 而電感電流超前兩端 電壓 900,因為 XR=XL,所以通過電容的電流與通過電 感的電流大小相等,方向相反,故而電流表 A2 的讀數為 0A。 由上分析可知,電壓 u 的有效值為 3R,故電感兩端電壓亦為 3R。因為 XL=R, 所以電流表 A3 的讀數為 3A。 例 4.18 圖 4.6 所示電路,已知電路諧振時,表 A1 讀數為 15A,表 A 讀數為

圖 4.5

9A,求表 A2 的讀數。

圖 4.6 解:諧振時的相量圖如圖 4.7 所示,因此:

圖 4.7

I 2 ? I 12 ? I 2 ? 15 2 ? 9 2 A ? 12 A

例 4.19

電路如圖 4.8 所示,已知ω =2rad/s,求

電路的總阻抗 Zab。 解:∵ω =2rad/s ∴ X L ? ?L ? 2?
XC ? 1 ? 2? ωC

∴ Z ab ? 2 ? j X L ? 2 //?? j X C ? ? 2.5 ? j1.5 例 4.20

圖 4.8

圖 4.9 所示電路中,已知 R1=40Ω ,XL=30Ω ,R2=60Ω ,Xc=60Ω ,

接至 220V 的電源上.試求各支路電流及總的有功功率、無功功率和功率因數。 解:設 U ? 220 ? 00 V 則 ∴ I 1 ? 4.4 A 同 理
U 220? 00 ? ? 2.59? 450 A I2 ? 0 ? j 60 2 ? R2 XC ? 45
. .
.

U 220? 00 ? ? ? 4.4? ? 36.90 A I1 0 R1 ? j X L 50? 36.9
.

.

圖 4.9

∴ I 2 ? 2.59A

∵ I ? I 1? I 2
? 4 2? ? 2 1? ? ? ? ?? ? 4.4 ? 5 ? 2.59? 2 ? ? j ? 2.59? 2 ? 4.4 ? 2 ? ? ? ? ?

.

.

.

? 5.35 ? j0.37 ? 5.36? ? 3.950 A
∴ P ? UI cos? ? 220? 5.36? cos3.950 ? 1.18W

Q ? UI sin ? ? 220? 5.36? sin 3.950 ? 81.2 var cos? ? cos3.950 ? 0.997
例 4 .21 今有一個 40W 的日光燈,使用時燈管與鎮流器(可近似把鎮流器看作純 電感)串聯在電壓為 220V,頻率為 50Hz 的電源上。已知燈管工作時屬于純電阻 負載,燈管兩端的電壓等于 110V,試求鎮流器上的感抗和電感。這時電路的功 率因數等于多少?若將功率因數提高到 0.8,問應并聯多大的電容? 解:∵ P ? 40W ∴ IR ? IL ?
P UR ?
V U R ? 110

ω =314rad/s

40 ? 0.36A 110

2 ∵U 2 ? U 2 R ?U L
2 2 ∴U L ? U 2 ?U 2 220 ? 110 ? 190 .5V R ?

∴XL ?

U L 190.5 ? ? 529? 0.36 IL

529 L? XL ? ? 1.69 H ? 314

110 U ? 0.5 由于燈管與鎮流器是串聯的,所以 cos ? ? R ? U 220

設并聯電容前功率因數角為 ?1 ,并聯后為 ? 2 ,則 tan ?1 ? 3 所以,若將功率因數提高到 0.8,應并聯的電容為
C? P

tan ? 2 ?

3 4

?U

2

?tan?1 ? tan? 2 ? ?

40 3? ? ? 3 ? ? ? 2.58?F 2 314? 220 ? 4?

例 4.22 一個負載的工頻電壓為 220V,功率為 10kW,功率因數為 0.6,欲將功

率因數提高到 0.9,試求所需并聯的電容。 解:當 cos?1 ? 0.6時?1 ? 53.10

cos? 2 ? 0.9時? 2 ? 25.80
所以 C ?
P

?U

?tan?1 ? tan? 2 ? ? 2

10?103 ?1.33 ? 0.48? ? 559?F 314? 2202


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